梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 8 mP1 = 60 kN 位于 1 mP2 = 55 kN 位于 2 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 10 mP = 45 kN 位于 2 mw = 5 kN/m，从 4 到 6 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 9.5 mP1 = 75 kN 位于 6 mP2 = 45 kN 位于 9.5 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 55 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 25 kN ↓C: 20 kN ↓D: 40 kN ↓H: 15 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 25 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 50 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 hreq。
w = 1 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)b = 50 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 93.75 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 60·1 + 55·2
RB = 170/8 = 21.25 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 21.25 = 93.75 kN
答案
RA = 93.75 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 14 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·2 + 5·2·5
RB = 140/10 = 14 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 14 = 41 kN
答案
RB = 14 kN
3.剪力和弯矩
答案: Mx = 61.88 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·8 = 75·6 + 45·9.5
RB = 877.5/8 = 109.7 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 109.7 = 10.31 kN
在 P1 处截开，保留左侧部分
Mx = RA·6 = 10.31·6 = 61.88 kN·m
答案
Mx = 61.88 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 43.75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·1 + 2·5·2.5
RB = 80/5 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 16 = 49 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 49·1.5 − 55·(1.5 − 1) − 2·1.5·0.75 = 43.75 kN·m
答案
Mx = 43.75 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 G
FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 31.88 kN (T), BC: 31.88 kN (T), CD: 43.12 kN (T), DE: 43.12 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 53.13 kN (C), HE: 71.87 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 21.88 kN (T), HC: 3.125 kN (T)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: FAC = 27.19 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·4 = 45·1 + 25·4 → Cy = 36.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 36.25 = 8.75 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −36.25/0.8 = −45.31 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−45.31)·0.6 = 27.19 kN
答案
FAC = 27.19 kN (受拉)
7.梁的挠度
答案: δ = 69.26 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·9.24 × 10¹¹) = 69.26 mm
答案
δ = 69.26 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 124.2 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 1 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/250 = 3000/250 = 12 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·3000⁴/(384·11000·12) = 7.99 × 10⁶ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·7.99 × 10⁶/50)1/3 = 124.2 mm
答案
hreq = 124.2 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 27.47 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 1·4000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4000² = 27470 N = 27.47 kN
答案
Pcr = 27.47 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 17.27 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
答案
σcr = 17.27 MPa
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