结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 30 kN 位于 3 mP₂ = 40 kN 位于 6 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP = 40 kN 位于 9 mw = 4 kN/m，从 4 到 8 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

4.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mP = 75 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 50 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓H: 25 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 0.5 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 20 kNa = 0.5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求梁的最大挠度 δ_max。

P = 21 kNb = 1.5 mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 125 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 125 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = −12.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·3 + 40·6

R_B = 330/4 = 82.5 kN

竖向平衡

R_A = 30 + 40 − 82.5 = −12.5 kN

答案

R_A = −12.5 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: R_A = 10.4 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·9 + 4·4·6

R_B = 456/10 = 45.6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 45.6 = 10.4 kN

答案

R_A = 10.4 kN

3.剪力和弯矩

答案: M_x = 18.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 40·0.5 − 10·0.5·0.25 = 18.75 kN·m

答案

M_x = 18.75 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 64 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 75·1 + 2·5·2.5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 20 = 65 kN

V = 0 在哪里？

V(1⁻) = R_A − w·1 = 63 kN

V(1⁺) = 63 − 75 = −12 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 65·1 − 2·1²/2 = 64 kN·m

答案

M_max = 64 kN·m

它出现在距 A 为 x = 1 m 处。

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −44.19 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·5 → C_y = 31.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 31.25 = 18.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −31.25/0.7071 = −44.19 kN

答案

F_BC = −44.19 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 2.5 kN (T), BC: 2.5 kN (T), CD: 17.5 kN (T), DE: 17.5 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 38.89 kN (C), HE: 24.75 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 24.75 kN (T), HC: 3.536 kN (T)

答案

零杆: DH

7.梁的挠度

答案: δ_B = 6.076 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 20000 N, a = 500 mm, L = 6000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 0.3472 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.001042 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6.076 mm

答案

δ_B = 6.076 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 69.94 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 21000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

最大值的位置

令较长段内的转角为零，即可得到该位置。

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

最大挠度

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 69.94 mm

答案

δ_max = 69.94 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 62.01 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 1·2000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62.01 kN

答案

P_cr = 62.01 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 58.08 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·125000 = 250000 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 58.08 mm

答案

d = 58.08 mm

校核：长细比 KL/r 为 144.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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