结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w0​ = 10 kN/mABRA​ = ?10 m

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 10 kN/m。 求竖向支座反力 RA。

L = 10 mw0 = 10 kN/m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 4 kN/mP = 65 kNABCRB​ = ?0.5 m1 m1.5 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 0.5 m 处承受集中荷载 P，并从 1.5 m 到位于 5 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RB，以向上为正。

AB = 3 mAC = 5 mP = 65 kN 位于 0.5 mw = 4 kN/m，从 1.5 到 5 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 12 kN/mAB截面0.5 m4.5 m

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 8 kN/mABC4 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。

L = 6 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB50 kN5 m4 m2 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 50 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB20 kN20 kN4 m3 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 20 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 15 kN/mδL = 6 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 6 kN/mAB4 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 4 mw = 6 kN/m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 135 kNL = 3 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 135 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 135 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 16.67 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·10·10 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 6.667 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·10 = 50·6.667
RB = 33.33 kN
RA = 50 − 33.33 = 16.67 kN

答案

RA = 16.67 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 26 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 4·3.5 = 14 kN, x̄ = (1.5 + 5)/2 = 3.25 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·3 = 65·0.5 + 14·3.25
RB = 78/3 = 26 kN
RA = 79 − 26 = 53 kN

答案

RB = 26 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 13.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·5·2.5
RB = 150/5 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30截面0.5 m4.5 m

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 30·0.5 − 12·0.5·0.25 = 13.5 kN·m

答案

Mx = 13.5 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mmax = 9 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·6·3
RB = 144/4 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 36 = 12 kN

剪力为零

RA − w·x0 = 0 → x0 = 12/8 = 1.5 m

最大正弯矩

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 12²/(2·8) = 9 kN·m

答案

Mmax = 9 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 20 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·4 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 40 = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −40/0.8944 = −44.72 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−44.72)·0.4472 = 20 kN

答案

FAC = 20 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FAB = 18.75 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB20 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 + 20·4 → Cy = 35 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 35 = −15 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−15/0.8 = 18.75 kN

答案

FAB = 18.75 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δmax = 63.44 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 6000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 63.44 mm

答案

δmax = 63.44 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 9 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·4/8 = 9 kN

答案

RB = 9 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 39.69 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39.69 kN

答案

Pcr = 39.69 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 74.83 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 74.83 mm

答案

d = 74.83 mm

校核：长细比 KL/r 为 160.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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