梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 10 mP1 = 45 kN 位于 3 mP2 = 45 kN 位于 9 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 4 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 45°；距 A 为 7 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。
L = 8 mP = 40 kN 位于 4 m, θ = 45°Q = 10 kN 位于 7 m
α = °
3.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求支座 B 处的弯矩 MB。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mP1 = 65 kN 位于 1 mP2 = 65 kN 位于 8 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
MB = kN·m
4.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
30 kN @ 12 m25 kN @ 4 m15 kN/m, 0–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 30 kN ↓F: 35 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 10 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 3.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 16 kNa = 3.5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 14 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 110 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 110 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 36 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·10 = 45·3 + 45·9
RB = 540/10 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 54 = 36 kN
答案
RA = 36 kN
2.梁的支座反力
答案: α = 28.55 °
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
P 的分量
Pv = 40·sin 45° = 28.28 kN
Ph = 40·cos 45° = 28.28 kN
反力
ΣMA = 0: RB·8 = 28.28·4 + 10·7 → RB = 22.89 kN
Ay = 28.28 + 10 − 22.89 = 15.39 kN
Ax = Ph = 28.28 kN
A 处的方向
α = atan(Ay/Ax) = atan(15.39/28.28) = 28.55°
答案
α = 28.55°
3.剪力和弯矩
答案: MB = −130 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·6 = 65·1 + 65·8
RB = 585/6 = 97.5 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 97.5 = 32.5 kN
在 B 处截开，保留外伸段
外伸段上只作用 P2，力臂为 a。它使梁在支座上方向上弯曲（负弯矩）。
MB = −P2·a = −65·2 = −130 kN·m
答案
MB = −130 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: C (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 84 kN, R2 = 121 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 138, MC = 216 kN·m, MD = 184, ME = 92, MF = −60, MG = 0
答案
标记点 C: MC = 216 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 36.56 kN (T), BC: 24.38 kN (T), CD: 24.38 kN (T), DE: 12.19 kN (T), FG: 36.56 kN (C), GH: 12.19 kN (C), AF: 60.94 kN (C), HE: 20.31 kN (C), BF: 13.75 kN (T), CG: 0, DH: 16.25 kN (T), BG: 20.31 kN (T), DG: 20.31 kN (C)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: FAC = 22.5 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·2 + 10·4 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 15 = 25 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 4/7.211 = 0.5547, cos γ = 6/7.211 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15/0.5547 = −27.04 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−27.04)·0.8321 = 22.5 kN
答案
FAC = 22.5 kN (受拉)
7.梁的挠度
答案: δP = 2.127 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 16000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 16000·3500²·2500²/(3·3.2 × 10¹³·6000) = 2.127 mm
答案
δP = 2.127 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 29.96 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 14000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 14000·5000³/(48·1.76 × 10¹²) = 20.71 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 9.248 mm
相加
δmax = 20.71 + 9.248 = 29.96 mm
答案
δmax = 29.96 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 6.909 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
计算长度
KL = 2·1500 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/3000² = 6909 N = 6.909 kN
答案
Pcr = 6.909 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 60.75 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·110000 = 330000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 60.75 mm
答案
d = 60.75 mm
校核：长细比 KL/r 为 131.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis