梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 6 mP1 = 20 kN 位于 2.5 mP2 = 20 kN 位于 5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 2.5 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 6 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 4.5 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w 以及距 A 为 1.5 m 处的集中荷载 Q。 求滚动支座处的反力 RD。
AC = 2.5 mAD = 6 mP = 25 kN 位于 4.5 mw = 5 kN/m，从 2.5 到 6 mQ = 75 kN 位于 1.5 m
RD = kN
3.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
30 kN @ 6 m8 kN/m, 4–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
4.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 xc。
L = 10.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 10.5 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
xc = m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 15 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 10 kN水平荷载 = 20 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 15 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 8 mP = 20 kN 位于 4 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 25 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·6 = 20·2.5 + 20·5
RB = 150/6 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 25 = 15 kN
答案
RB = 25 kN
2.梁的支座反力
答案: RD = 23.04 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。
CD 段
铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。
W = 5·3.5 = 17.5 kN 位于 1.75 m ，量自 C
ΣMC = 0: RD·3.5 = 25·2 + 17.5·1.75
RD = 23.04 kN
VC = 42.5 − 23.04 = 19.46 kN
答案
RD = 23.04 kN
3.剪力和弯矩
答案: D (x = 6 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 35 kN, R2 = 43 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 70, MC = 140, MD = 194 kN·m, ME = 156, MF = 86, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 194 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: xc = 7.219 m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·10.5 = 52.5 kN，作用于 x̄ = 5.25 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·10.5·5.25
RB = 275.6/8 = 34.45 kN
ΣFy = 0: RA = 52.5 − 34.45 = 18.05 kN
弯矩为零
两支座之间 M(x) = RA·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2RA/w 处为零。
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·18.05/5 = 7.219 m
答案
xc = 7.219 m
5.桁架：节点法
答案: FAC = 6.25 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·1 → Cy = 2.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 2.5 = 12.5 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2.5/0.3714 = −6.731 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−6.731)·0.9285 = 6.25 kN
答案
FAC = 6.25 kN (受拉)
6.桁架：节点法
答案: FAC = 17.78 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·2 + 20·3 → Cy = 13.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 13.33 = −3.333 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13.33/0.6 = −22.22 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−22.22)·0.8 = 17.78 kN
答案
FAC = 17.78 kN (受拉)
7.梁的挠度
答案: δ = 22.86 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 15000·4000³/(3·1.68 × 10¹³) = 19.05 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 3.81 mm
相加
δ = 19.05 + 3.81 = 22.86 mm
答案
δ = 22.86 mm
8.梁的挠度
答案: RB = 6.25 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·20/16 = 6.25 kN
答案
RB = 6.25 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 9.646 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·1500 = 750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/750² = 9646 N = 9.646 kN
答案
Pcr = 9.646 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 21.93 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa
答案
σcr = 21.93 MPa
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