梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 4 mP1 = 45 kN 位于 1 mP2 = 25 kN 位于 2.5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 12 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 4.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 5 mw0 = 12 kN/mP = 45 kN 位于 4.5 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 4 mP1 = 65 kN 位于 1 mP2 = 55 kN 位于 2 m
Mmax = kN·m
4.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 8.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 8.5 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
D: 30 kN ↓G: 35 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 15 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 20 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。
L = 6 mP = 75 kN 位于 3 m
MA = kN·m
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 25 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 25 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 26.88 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 45·1 + 25·2.5
RB = 107.5/4 = 26.88 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 26.88 = 43.13 kN
答案
RB = 26.88 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 252.5 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
三角形荷载的合力
W = ½·12·5 = 30 kN
x̄ = L/3 = 1.667 m
对墙的力矩
MA = W·x̄ + P·a = 30·1.667 + 45·4.5 = 252.5 kN·m
答案
MA = 252.5 kN·m
3.剪力和弯矩
答案: Mmax = 87.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 65·1 + 55·2
RB = 175/4 = 43.75 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 43.75 = 76.25 kN
各荷载处的弯矩
保留每个荷载左侧的部分。
荷载点 P1: M = RA·1 = 76.25·1 = 76.25 kN·m
荷载点 P2: M = RB·2 = 43.75·2 = 87.5 kN·m
最大值
Mmax = 87.5 kN·m (荷载点 P2)
答案
Mmax = 87.5 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 36.88 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8.5 = 102 kN，作用于 x̄ = 4.25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·8.5·4.25
RB = 433.5/6 = 72.25 kN
ΣFy = 0: RA = 102 − 72.25 = 29.75 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 29.75/12 = 2.479 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 29.75²/(2·12) = 36.88 kN·m
答案
Mmax = 36.88 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 18.75 kN (T), BC: 37.5 kN (T), CD: 37.5 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 18.75 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 31.25 kN (C), HE: 50 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), BG: 31.25 kN (C), DG: 12.5 kN (C)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: FBC = −9.014 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·4 = 50·1 − 15·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 5 = 45 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0.5547 = −9.014 kN
答案
FBC = −9.014 kN (受压)
7.梁的挠度
答案: δ = 55.49 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 20·2500⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 55.49 mm
答案
δ = 55.49 mm
8.梁的挠度
答案: MA = 84.38 kN·m
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·75/16 = 23.44 kN
固定端的弯矩
荷载和支撑力对 A 取矩。
MA = P·L/2 − RB·L = 225 − 140.6 = 84.38 kN·m
答案
MA = 84.38 kN·m
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 5.062 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1750² = 5062 N = 5.062 kN
答案
Pcr = 5.062 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 39.24 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 39.24 mm
答案
d = 39.24 mm
校核：长细比 KL/r 为 178.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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