梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 5 mP1 = 30 kN 位于 2 mP2 = 40 kN 位于 4 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 2.5 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 6 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 3 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w。 求墙处反力矩 MA 的大小。
AC = 2.5 mAD = 6 mP = 10 kN 位于 3 mw = 2 kN/m，从 2.5 到 6 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5.5 mP1 = 70 kN 位于 1 mP2 = 45 kN 位于 5.5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 50 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
C: 35 kN ↓D: 40 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ←
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 45 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 26 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·5 = 30·2 + 40·4
RB = 220/5 = 44 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 44 = 26 kN
答案
RA = 26 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 30.18 kN·m
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。
CD 段
铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。
W = 2·3.5 = 7 kN 位于 1.75 m ，量自 C
ΣMC = 0: RD·3.5 = 10·0.5 + 7·1.75
RD = 4.929 kN
VC = 17 − 4.929 = 12.07 kN
AC 段
铰力 VC 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。
RA = 12.07 = 12.07 kN
MA = 12.07·2.5 = 30.18 kN·m
答案
MA = 30.18 kN·m
3.剪力和弯矩
答案: Mx = 35.63 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·4 = 70·1 + 45·5.5
RB = 317.5/4 = 79.38 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 79.38 = 35.63 kN
在 P1 处截开，保留左侧部分
Mx = RA·1 = 35.63·1 = 35.63 kN·m
答案
Mx = 35.63 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 8.789 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·5·2.5
RB = 62.5/4 = 15.63 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 15.63 = 9.375 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 9.375/5 = 1.875 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 9.375²/(2·5) = 8.789 kN·m
答案
Mmax = 8.789 kN·m
5.桁架：节点法
答案: FBC = −41.23 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 50·4 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 40 = 10 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −40/0.9701 = −41.23 kN
答案
FBC = −41.23 kN (受压)
6.桁架：节点法
答案: 杆件 BF
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 B
AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 44.58 kN (T), BC: 44.58 kN (T), CD: 83.75 kN (T), DE: 83.75 kN (T), FG: 139.2 kN (C), GH: 139.2 kN (C), AF: 86.98 kN (C), HE: 104.7 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 86.98 kN (T), HC: 38.02 kN (T)
答案
零杆: BF
7.梁的挠度
答案: θA = 0.002841 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 15·2000³/(24·1.76 × 10¹²) = 0.002841 rad
答案
θA = 0.002841 rad
即 0.1628°。
8.梁的挠度
答案: Ireq = 7.232 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·70000·8.333) = 7.232 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7.232 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 7.232 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 29.84 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2100² = 29840 N = 29.84 kN
答案
Pcr = 29.84 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 57.08 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 57.08 mm
答案
d = 57.08 mm
校核：长细比 KL/r 为 140.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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