结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP₁ = 40 kN 位于 5 mP₂ = 55 kN 位于 9 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 60 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 2 到 4 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

4.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 5 mw = 8 kN/m，从 0 到 5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 15 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 25 kN ←

F_AC = kN

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 25 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 21 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 69.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·5 + 55·9

R_B = 695/10 = 69.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 69.5 = 25.5 kN

答案

R_B = 69.5 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 52 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 2·2·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 12 = 52 kN

答案

R_A = 52 kN

3.剪力和弯矩

答案: M_x = 90 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 48·5 − 12·5·2.5 = 90 kN·m

答案

M_x = 90 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 14.06 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·5·2.5

R_B = 100/4 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 25 = 15 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 15/8 = 1.875 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 15²/(2·8) = 14.06 kN·m

答案

M_max = 14.06 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 6.667 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 5 = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0.6 = −8.333 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−8.333)·0.8 = 6.667 kN

答案

F_AC = 6.667 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 21 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·2 − 25·2 → C_y = 14 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 14 = 46 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −14/0.5547 = −25.24 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25.24)·0.8321 = 21 kN

答案

F_AC = 21 kN (受拉)

7.梁的挠度

答案: δ = 38.28 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 25000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(3EI) = 25000·3000³/(3·7.2 × 10¹²) = 31.25 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 7.031 mm

相加

δ = 31.25 + 7.031 = 38.28 mm

答案

δ = 38.28 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 3.194 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 21000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·2000³/(48·2.4 × 10¹²) = 1.458 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 1.736 mm

相加

δ_max = 1.458 + 1.736 = 3.194 mm

答案

δ_max = 3.194 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 155.4 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1000² = 155446 N = 155.4 kN

答案

P_cr = 155.4 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 47.98 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/12.5 = 120

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47.98 MPa

答案

σ_cr = 47.98 MPa

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