热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜热: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

气体动力循环

等熵，体积比: T₂/T₁ = r^k−1
等熵，压力比: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
奥托循环效率: η = 1 − 1/r^k−1
狄塞尔循环效率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
布雷顿循环效率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
吸热量: 奥托：c_v(T₃ − T₂) 狄塞尔、布雷顿：c_p(T₃ − T₂)
布雷顿循环净功: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
等熵效率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空气标准: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 280 g He，温度为 5 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 280 gM = 4.003 g/molV = 50 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 600 kPa 和 120 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 600 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.能量衡算中等

热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 t_out。

ṁ_h = 2.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 90 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.能量衡算困难

热乙二醇混合液在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 10% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁ_c。

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 110 °Ct: 25 → 90 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 5.5 kW 的热量使冷库保持在 -30 °C，并向 25 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = -30 °CT_H = 25 °CQ̇_L = 5.5 kW

Q̇_H = kW

6.热机和制冷机困难

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 2 °C，以 5 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 35 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 5 kW

COP_max =

7.气体动力循环中等

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 20，预胀比 r_c = v₃/v₂ = 1.8。压缩开始时空气温度为 310 K。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求加热终了时的温度 T₃，以 K 计。

r = 20r_c = 1.8T₁ = 310 Kk = 1.4

T₃ = K

8.气体动力循环困难

一座燃气轮机电站按布雷顿循环运行，压气机压比为 12。空气以 290 K 进入压气机，以 1400 K 进入涡轮。压气机的等熵效率为 80%，涡轮为 88%。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求每千克空气的净输出功 w_net，以 kJ/kg 计。

r_p = 12T₁ = 290 KT₃ = 1400 Kη_c = 80%η_t = 88%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 3235 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 280/4.003 = 69.95 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

压强

P = nRT/V = 69.95·8.314·278.1/0.05 = 3235 kPa

答案

P = 3235 kPa

2.理想气体定律

答案: ρ = 0.7348 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 600·4.003/(8.314·393.1) = 0.7348 kg/m³

答案

ρ = 0.7348 kg/m³

3.能量衡算

答案: t_out = 112.6 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

热流体放出的热量

Q = 2.5·2.44·(150 − 90) = 366 kW

水吸收的热量

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 366/(1·4.18) = 112.6 °C

答案

t_out = 112.6 °C

4.能量衡算

答案: ṁ_c = 0.2385 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Q_h = 0.5·3.6·(150 − 110) = 72 kW

传给水的热量

Q_c = (1 − 0.1)·72 = 64.8 kW

水流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 64.8/(4.18·65) = 0.2385 kg/s

答案

ṁ_c = 0.2385 kg/s

5.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 6.744 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -30 + 273.15 = 243.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 5.5·298.1/243.1 = 6.744 kW

答案

Q̇_H = 6.744 kW

输入功率：Ẇ = 1.244 kW。

6.热机和制冷机

答案: COP_max = 8.338

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(308.1 − 275.1) = 8.338

答案

COP_max = 8.338

7.气体动力循环

答案: T₃ = 1849 K

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 r_c = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·r^k−1，T₃ = r_c·T₂，q_in = c_p·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))。

压缩终了

T₂ = 310·20^0.4 = 1027 K

定压加热

T₃ = r_c·T₂ = 1.8·1027 = 1849 K

答案

T₃ = 1849 K

8.气体动力循环

答案: w_net = 252.7 kJ/kg

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 r_p = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k，T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k，η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k。净功 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 w_s/η_c，涡轮输出 η_t·w_s。

等熵温度

T_2s = 290·12^0.2857 = 589.8 K

T_4s = 1400/12^0.2857 = 688.3 K

压气机功和涡轮功

w_c = 1.005·(589.8 − 290)/0.8 = 376.7 kJ/kg

w_t = 0.88·1.005·(1400 − 688.3) = 629.4 kJ/kg

净功

w_net = 629.4 − 376.7 = 252.7 kJ/kg

答案

w_net = 252.7 kJ/kg

回功比：w_c/w_t = 59.85%。

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