理想气体定律
- 理想气体定律
- pV = nRT
- 气体常数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- 联合气体定律
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物质的量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
热力学（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
能量衡算
- 显热
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜热
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
热机和制冷机
- 效率
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- 卡诺效率
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- 制冷机 COP
- COPR = QC/W
- 热泵 COP
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- 能量衡算
- QH = W + QC
气体动力循环
- 等熵，体积比
- T2/T1 = rk−1
- 等熵，压力比
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- 奥托循环效率
- η = 1 − 1/rk−1
- 狄塞尔循环效率
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- 布雷顿循环效率
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- 吸热量
- 奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
- 布雷顿循环净功
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- 等熵效率
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- 冷空气标准
- k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)
2练习题
1.理想气体定律中等
容积为 50 L 的容器中装有 250 g N₂，温度为 35 °C。按理想气体处理，求压强 P。
m = 250 gM = 28.01 g/molV = 50 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想气体定律困难
按理想气体处理，求He在 850 kPa 和 60 °C 下的密度 ρ。
M = 4.003 g/molP = 850 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.能量衡算中等
热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。
ṁh = 3 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 100 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 15% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 70 °Ct: 10 → 40 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
一台热机在 475 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 3100 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。
TH = 475 °CTL = 15 °CQH = 3100 kJ
Wmax = kJ
6.热机和制冷机困难
一台热泵从 10 °C 的热源吸热，向 55 °C 的供暖系统提供 9 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 30%。求它消耗的电功率 Ẇ。
TH = 55 °CTL = 10 °CηII = 30%Q̇H = 9 kW
Ẇ = kW
7.气体动力循环中等
一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 19，预胀比 rc = v₃/v₂ = 3。 压缩开始时空气温度为 310 K。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求加热终了时的温度 T3，以 K 计。
r = 19rc = 3T1 = 310 Kk = 1.4
T3 = K
8.气体动力循环困难
一个理想布雷顿循环的压气机压比为 18。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求其热效率 η，以百分比计。
rp = 18k = 1.4
η = %
3溶液
1.理想气体定律
答案: P = 457.3 kPa
理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。
物质的量
n = m/M = 250/28.01 = 8.925 mol
T = 35 + 273.15 = 308.1 K
压强
P = nRT/V = 8.925·8.314·308.1/0.05 = 457.3 kPa
答案
P = 457.3 kPa
2.理想气体定律
答案: ρ = 1.228 kg/m³
理想气体密度：ρ = PM/(RT)。
整理气体定律
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 60 + 273.15 = 333.1 K
密度
ρ = 850·4.003/(8.314·333.1) = 1.228 kg/m³
答案
ρ = 1.228 kg/m³
3.能量衡算
答案: tout = 66.7 °C
换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
热流体放出的热量
Q = 3·2.44·(140 − 100) = 292.8 kW
水吸收的热量
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 292.8/(1.5·4.18) = 66.7 °C
答案
tout = 66.7 °C
4.能量衡算
答案: ṁc = 0.6616 kg/s
有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。
放出热量
Qh = 0.5·2.44·(150 − 70) = 97.6 kW
传给水的热量
Qc = (1 − 0.15)·97.6 = 82.96 kW
水流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 82.96/(4.18·30) = 0.6616 kg/s
答案
ṁc = 0.6616 kg/s
5.热机和制冷机
答案: Wmax = 1906 kJ
第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。
绝对温度
TH = 475 + 273.15 = 748.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K
卡诺效率
ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288.1/748.1 = 61.48 %
最大功
Wmax = ηmax·QH = 0.6148·3100 = 1906 kJ
答案
Wmax = 1906 kJ
6.热机和制冷机
答案: Ẇ = 4.114 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
绝对温度
TH = 55 + 273.15 = 328.1 K
TL = 10 + 273.15 = 283.1 K
卡诺 COP 和实际 COP
COPmax = 328.1/(328.1 − 283.1) = 7.292
COP = 0.3·7.292 = 2.188
输入功率
Ẇ = Q̇H/COP = 9/2.188 = 4.114 kW
答案
Ẇ = 4.114 kW
7.气体动力循环
答案: T3 = 3020 K
狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。
压缩终了
T2 = 310·190.4 = 1007 K
定压加热
T3 = rc·T2 = 3·1007 = 3020 K
答案
T3 = 3020 K
8.气体动力循环
答案: η = 56.21 %
布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。
热效率
η = 1 − 1/180.2857 = 1 − 1/2.284 = 56.21%
答案
η = 56.21%
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