微分方程练习卷（附答案）

一个质量–弹簧–阻尼系统由 y″ + 8y′ + 25y = 0 描述。将它与 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 比较，求阻尼比 ζ。

一种放射性示踪剂的半衰期为 23 天。样品最初含 50 mg。衰变遵循 dm/dt = −k·m。81 天后还剩多少 m？

一杯 81 °C 的咖啡放在 23 °C 的房间里。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.12 min⁻¹，求 12 min 后的温度 T。

一罐 6 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 26 °C 的房间里。 28 min 后其温度为 22 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 24 °C？

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 8y = 80，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

求解初值问题 y′ + 2y/x = 6x，x > 0，y(1) = 3。求 y(2)。