微分方程练习卷（附答案）

免费可打印的微分方程练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单
rr² + br + c?

对方程 y″ + 8y′ + 12y = 0，求特征方程中最接近零的根 r。它决定解衰减得有多慢。

y″ + 8y′ + 12y = 0
r =
2.简单
t (h)Nt = ?1000

一个细菌培养物开始时有 200 个细胞，按 dN/dt = k·N 增长，k = 0.09 h⁻¹。多少小时 t 后细胞数达到 1000？

N0 = 200k = 0.09 h⁻¹N = 1000
t = h
3.中等
t (min)T (°C)24Ta​43 °C31 °C

一杯 82 °C 的咖啡放在 19 °C 的房间里。 24 min 后其温度为 43 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 31 °C？

T0 = 82 °CTa = 19 °CT(24) = 43 °CT = 31 °C
t = min
4.中等
t (min)T (°C)14Ta​279 °C179 °C

一个 360 °C 的钢锻件放在 30 °C 的车间里冷却。 14 min 后其温度为 279 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 179 °C？

T0 = 360 °CTa = 30 °CT(14) = 279 °CT = 179 °C
t = min
5.困难
tyK = 10ymax​ = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 8y = 80，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 ymax。

y″ + 4y′ + 8y = 80y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.困难
tyy(0) = 2y(1) = ?

解 y″ + 4y′ + 20y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(1)；角度以弧度为单位。

y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(1) =

答案

  1. 1. r = −2
  2. 2. t = 17.88 h
  3. 3. t = 41.24 min
  4. 4. t = 39.53 min
  5. 5. ymax = 10.43
  6. 6. y(1) = −0.2793

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