1.简单
一个质量–弹簧–阻尼系统由 y″ + 14y′ + 100y = 0 描述。将它与 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 比较，求阻尼比 ζ。
y″ + 14y′ + 100y = 0
ζ =
微分方程练习卷（附答案）
2.简单
一个细菌培养物开始时有 500 个细胞，按 dN/dt = k·N 增长，k = 0.18 h⁻¹。2 h 后有多少个细胞 N？
N0 = 500k = 0.18 h⁻¹t = 2 h
N =
3.中等
一罐 3 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 24 °C 的房间里。 14 min 后其温度为 16 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 求常数 k，以 min⁻¹ 计。
T0 = 3 °CTa = 24 °CT(14) = 16 °C
k = min⁻¹
4.中等
一杯 81 °C 的咖啡放在 20 °C 的房间里。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.05 min⁻¹，求 10 min 后的温度 T。
T0 = 81 °CTa = 20 °Ck = 0.05 min⁻¹t = 10 min
T = °C
5.困难
一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 5y = 25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 ymax。
y″ + 2y′ + 5y = 25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.困难
一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 17y = 170，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 ymax。
y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
答案
- 1. ζ = 0.7
- 2. N = 716.7
- 3. k = 0.06893 min⁻¹
- 4. T = 57 °C
- 5. ymax = 6.039
- 6. ymax = 14.56
完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。