微分方程练习卷（附答案）

一个质量–弹簧–阻尼系统由 y″ + 0.8y′ + 4y = 0 描述。将它与 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 比较，求阻尼比 ζ。

某个量按 dy/dt = −k·y 衰减，k > 0。t = 0 时为 100，t = 5 h 时为 75。 求速率常数 k，以 h⁻¹ 计。

一个 380 °C 的钢锻件放在 25 °C 的车间里冷却。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.05 min⁻¹，求 17 min 后的温度 T。

一罐 3 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 25 °C 的房间里。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.03 min⁻¹，求 10 min 后的温度 T。

一个水箱装有 400 L 纯水。 每升含盐 0.1 kg 的盐水以 10 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 40 min 后水箱中有多少盐 m？

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 10y = 50，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。