微分方程练习卷（附答案）

免费可打印的微分方程练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单
rr² + br + c?

对方程 y″ + 5y′ + 4y = 0，求特征方程中最接近零的根 r。它决定解衰减得有多慢。

y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
2.简单
ty1

一个质量–弹簧–阻尼系统由 y″ + y′ + 25y = 0 描述。将它与 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 比较，求阻尼比 ζ。

y″ + y′ + 25y = 0
ζ =
3.中等
t (min)T (°C)30Ta​44 °C76 °C

一杯 90 °C 的咖啡放在 24 °C 的房间里。 30 min 后其温度为 44 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 76 °C？

T0 = 90 °CTa = 24 °CT(30) = 44 °CT = 76 °C
t = min
4.中等
t (min)T (°C)16Ta​283 °C

一个 440 °C 的钢锻件放在 28 °C 的车间里冷却。 16 min 后其温度为 283 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T0 = 440 °CTa = 28 °CT(16) = 283 °C
k = min⁻¹
5.困难
tyy(0) = 2y(0.5) = ?

解 y″ + 4y′ + 8y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(0.5)；角度以弧度为单位。

y″ + 4y′ + 8y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.5) =
6.困难
tyK = 1ymax​ = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 25.25y = 25.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 ymax。

y″ + y′ + 25.25y = 25.25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =

答案

  1. 1. r = −1
  2. 2. ζ = 0.1
  3. 3. t = 5.991 min
  4. 4. k = 0.02998 min⁻¹
  5. 5. y(0.5) = 1.017
  6. 6. ymax = 1.73

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