微分方程练习卷（附答案）

免费可打印的微分方程练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

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1.简单

某个量按 dy/dt = k·y 增长，k > 0。t = 0 时为 400，t = 5 h 时为 1160。求速率常数 k，以 h⁻¹ 计。

y(0) = 400y(5) = 1160

k = h⁻¹

2.简单

一个细菌培养物开始时有 2000 个细胞，按 dN/dt = k·N 增长，k = 0.36 h⁻¹。19 h 后有多少个细胞 N？

N₀ = 2000k = 0.36 h⁻¹t = 19 h

N =

3.中等

一杯 87 °C 的咖啡放在 23 °C 的房间里。 10 min 后其温度为 47 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 35 °C？

T₀ = 87 °CT_a = 23 °CT(10) = 47 °CT = 35 °C

t = min

4.中等

一罐 3 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 29 °C 的房间里。 29 min 后其温度为 21 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 3 °CT_a = 29 °CT(29) = 21 °C

k = min⁻¹

5.困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 18.25y = 36.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 3y′ + 18.25y = 36.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

6.困难

求解 y′ + 3y = 10e^−t，y(0) = 4。求 y(0.5)。

y′ + 3y = 10e^−ty(0) = 4

y(0.5) =

答案

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