微分方程练习卷（附答案）

免费可打印的微分方程练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单
t (h)y12 h60

某个量按 dy/dt = −k·y 衰减，k > 0。t = 0 时为 120，t = 12 h 时为 60。 求速率常数 k，以 h⁻¹ 计。

y(0) = 120y(12) = 60
k = h⁻¹
2.简单
rr² + br + c?

对方程 y″ + 7y′ + 12y = 0，求特征方程中最接近零的根 r。它决定解衰减得有多慢。

y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
3.中等
t (min)T (°C)50Ta​120 °C256 °C

一个 460 °C 的钢锻件放在 22 °C 的车间里冷却。 50 min 后其温度为 120 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 256 °C？

T0 = 460 °CTa = 22 °CT(50) = 120 °CT = 256 °C
t = min
4.中等
t (min)T (°C)8Ta​10 °C

一罐 4 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 23 °C 的房间里。 8 min 后其温度为 10 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T0 = 4 °CTa = 23 °CT(8) = 10 °C
k = min⁻¹
5.困难
tyK = 5y(0.75) = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 4.25y = 21.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。

y″ + y′ + 4.25y = 21.25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.困难
tyK = 10y(0.75) = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 20y = 200，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。

y″ + 4y′ + 20y = 200y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =

答案

  1. 1. k = 0.05776 h⁻¹
  2. 2. r = −3
  3. 3. t = 20.93 min
  4. 4. k = 0.04744 min⁻¹
  5. 5. y(0.75) = 3.9
  6. 6. y(0.75) = 12.05

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