1.简单
一种放射性示踪剂的半衰期为 19 天。样品最初含 120 mg。衰变遵循 dm/dt = −k·m。41 天后还剩多少 m？
m0 = 120 mgt½ = 19 dt = 41 d
m = mg
微分方程练习卷（附答案）
2.简单
一个细菌培养物开始时有 500 个细胞，按 dN/dt = k·N 增长，k = 0.36 h⁻¹。12 h 后有多少个细胞 N？
N0 = 500k = 0.36 h⁻¹t = 12 h
N =
3.中等
一个 420 °C 的钢锻件放在 21 °C 的车间里冷却。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.02 min⁻¹，求 58 min 后的温度 T。
T0 = 420 °CTa = 21 °Ck = 0.02 min⁻¹t = 58 min
T = °C
4.中等
一罐 3 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 28 °C 的房间里。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.06 min⁻¹，求 9 min 后的温度 T。
T0 = 3 °CTa = 28 °Ck = 0.06 min⁻¹t = 9 min
T = °C
5.困难
一个水箱装有 500 L 水，其中溶有 5 kg 盐。 每升含盐 0.2 kg 的盐水以 5 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 多少分钟 t 后水箱中含盐 81 kg？
V = 500 Lm0 = 5 kgc = 0.2 kg/Lr = 5 L/min
t = min
6.困难
一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 20y = 100，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(1)；角度以弧度为单位。
y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
答案
- 1. m = 26.89 mg
- 2. N = 37594
- 3. T = 146.1 °C
- 4. T = 13.43 °C
- 5. t = 160.9 min
- 6. y(1) = 5.698
完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。