微分方程练习卷（附答案）

对方程 y″ + 5y′ + 6y = 0，求特征方程中最接近零的根 r。它决定解衰减得有多慢。

某个量按 dy/dt = −k·y 衰减，k > 0。t = 0 时为 80，t = 6 h 时为 24。 求速率常数 k，以 h⁻¹ 计。

一杯 92 °C 的咖啡放在 21 °C 的房间里。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.1 min⁻¹，求 9 min 后的温度 T。

一罐 6 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 25 °C 的房间里。 15 min 后其温度为 18 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 14 °C？

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 10y = 50，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 4.25y = 21.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(1.5)；角度以弧度为单位。