微分方程练习卷（附答案）

免费可打印的微分方程练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
ty1

一个质量–弹簧–阻尼系统由 y″ + 14y′ + 100y = 0 描述。将它与 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 比较，求阻尼比 ζ。

y″ + 14y′ + 100y = 0
ζ =
2.简单
rr² + br + c?

对方程 y″ + 5y′ + 4y = 0，求特征方程中最接近零的根 r。它决定解衰减得有多慢。

y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
3.中等
t (min)T (°C)45Ta​315 °C381 °C

一个 480 °C 的钢锻件放在 24 °C 的车间里冷却。 45 min 后其温度为 315 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 381 °C？

T0 = 480 °CTa = 24 °CT(45) = 315 °CT = 381 °C
t = min
4.中等
t (min)T (°C)37Ta​123 °C78 °C

一个 460 °C 的钢锻件放在 24 °C 的车间里冷却。 37 min 后其温度为 123 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 78 °C？

T0 = 460 °CTa = 24 °CT(37) = 123 °CT = 78 °C
t = min
5.困难
tyK = 1ymax​ = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 25.25y = 25.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 ymax。

y″ + y′ + 25.25y = 25.25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.困难
tyK = 5y(0.25) = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 29y = 145，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.25)；角度以弧度为单位。

y″ + 4y′ + 29y = 145y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =

答案

  1. 1. ζ = 0.7
  2. 2. r = −1
  3. 3. t = 24.52 min
  4. 4. t = 52.13 min
  5. 5. ymax = 1.73
  6. 6. y(0.25) = 2.893

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