微分方程练习卷（附答案）

免费可打印的微分方程练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
ty1

一个质量–弹簧–阻尼系统由 y″ + 2.4y′ + 9y = 0 描述。将它与 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 比较，求阻尼比 ζ。

y″ + 2.4y′ + 9y = 0
ζ =
2.简单
rr² + br + c?

对方程 y″ + 4y′ + 3y = 0，求特征方程中最接近零的根 r。它决定解衰减得有多慢。

y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
3.中等
t (min)T (°C)18Ta​405 °C

一个 480 °C 的钢锻件放在 26 °C 的车间里冷却。 18 min 后其温度为 405 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T0 = 480 °CTa = 26 °CT(18) = 405 °C
k = min⁻¹
4.中等
t (min)T (°C)15Ta​65 °C36 °C

一杯 91 °C 的咖啡放在 20 °C 的房间里。 15 min 后其温度为 65 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 36 °C？

T0 = 91 °CTa = 20 °CT(15) = 65 °CT = 36 °C
t = min
5.困难
t (min)m (kg)t = ?16 kg

一个水箱装有 200 L 水，其中溶有 5 kg 盐。 每升含盐 0.1 kg 的盐水以 2 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 多少分钟 t 后水箱中含盐 16 kg？

V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0.1 kg/Lr = 2 L/min
t = min
6.困难
ty0.5y(0.5) = ?

求解 y′ + 3y = 2e−0.5t，y(0) = 1。求 y(0.5)。

y′ + 3y = 2e−0.5ty(0) = 1
y(0.5) =

答案

  1. 1. ζ = 0.4
  2. 2. r = −1
  3. 3. k = 0.01003 min⁻¹
  4. 4. t = 49.01 min
  5. 5. t = 132.2 min
  6. 6. y(0.5) = 0.6677

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