1.简单
一个质量–弹簧–阻尼系统由 y″ + 3y′ + 9y = 0 描述。将它与 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 比较，求阻尼比 ζ。
y″ + 3y′ + 9y = 0
ζ =
微分方程练习卷（附答案）
2.简单
对方程 y″ + 5y′ + 4y = 0，求特征方程中最接近零的根 r。它决定解衰减得有多慢。
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
3.中等
一个 480 °C 的钢锻件放在 25 °C 的车间里冷却。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.03 min⁻¹，求 30 min 后的温度 T。
T0 = 480 °CTa = 25 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 30 min
T = °C
4.中等
一罐 5 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 30 °C 的房间里。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.06 min⁻¹，求 5 min 后的温度 T。
T0 = 5 °CTa = 30 °Ck = 0.06 min⁻¹t = 5 min
T = °C
5.困难
求解初值问题 y′ + 2y/x = 2x，x > 0，y(1) = 4。求 y(3)。
y′ + 2y/x = 2xy(1) = 4
y(3) =
6.困难
一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 16.25y = 162.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 ymax。
y″ + y′ + 16.25y = 162.5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
答案
- 1. ζ = 0.5
- 2. r = −1
- 3. T = 210 °C
- 4. T = 11.48 °C
- 5. y(3) = 4.889
- 6. ymax = 16.75
完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。