微分方程练习卷（附答案）

免费可打印的微分方程练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单
t (h)y10 h1400

某个量按 dy/dt = k·y 增长，k > 0。t = 0 时为 400，t = 10 h 时为 1400。 求速率常数 k，以 h⁻¹ 计。

y(0) = 400y(10) = 1400
k = h⁻¹
2.简单
t (h)Nt = ?25000

一个细菌培养物开始时有 5000 个细胞，按 dN/dt = k·N 增长，k = 0.27 h⁻¹。多少小时 t 后细胞数达到 25000？

N0 = 5000k = 0.27 h⁻¹N = 25000
t = h
3.中等
t (min)T (°C)51Ta​61 °C

一个 500 °C 的钢锻件放在 24 °C 的车间里冷却。 51 min 后其温度为 61 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T0 = 500 °CTa = 24 °CT(51) = 61 °C
k = min⁻¹
4.中等
t (min)T (°C)11Ta​42 °C34 °C

一杯 86 °C 的咖啡放在 23 °C 的房间里。 11 min 后其温度为 42 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 34 °C？

T0 = 86 °CTa = 23 °CT(11) = 42 °CT = 34 °C
t = min
5.困难
t (min)m (kg)t = ?15 kg

一个水箱装有 200 L 纯水。 每升含盐 0.25 kg 的盐水以 5 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 多少分钟 t 后水箱中含盐 15 kg？

V = 200 Lm0 = 0 kgc = 0.25 kg/Lr = 5 L/min
t = min
6.困难
tyK = 10ymax​ = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 10y = 100，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 ymax。

y″ + 2y′ + 10y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =

答案

  1. 1. k = 0.1253 h⁻¹
  2. 2. t = 5.961 h
  3. 3. k = 0.05009 min⁻¹
  4. 4. t = 16.02 min
  5. 5. t = 14.27 min
  6. 6. ymax = 13.51

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