微分方程练习卷（附答案）

一种放射性示踪剂的半衰期为 20 天。样品最初含 40 mg。衰变遵循 dm/dt = −k·m。44 天后还剩多少 m？

一个细菌培养物开始时有 1000 个细胞，按 dN/dt = k·N 增长，k = 0.38 h⁻¹。多少小时 t 后细胞数达到 2000？

一罐 3 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 28 °C 的房间里。 16 min 后其温度为 21 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 24 °C？

一杯 86 °C 的咖啡放在 19 °C 的房间里。 20 min 后其温度为 25 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 21 °C？

求解初值问题 y′ + 3y/x = 6x，x > 0，y(1) = 3。求 y(2)。

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 13y = 13，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(1)；角度以弧度为单位。