1.简单
某个量按 dy/dt = k·y 增长，k > 0。t = 0 时为 500，t = 2 h 时为 1550。 求速率常数 k，以 h⁻¹ 计。
y(0) = 500y(2) = 1550
k = h⁻¹
微分方程练习卷（附答案）
2.简单
一个质量–弹簧–阻尼系统由 y″ + 1.2y′ + 4y = 0 描述。将它与 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 比较，求阻尼比 ζ。
y″ + 1.2y′ + 4y = 0
ζ =
3.中等
一个 500 °C 的钢锻件放在 30 °C 的车间里冷却。 47 min 后其温度为 214 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 386 °C？
T0 = 500 °CTa = 30 °CT(47) = 214 °CT = 386 °C
t = min
4.中等
一个 380 °C 的钢锻件放在 30 °C 的车间里冷却。 59 min 后其温度为 224 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 333 °C？
T0 = 380 °CTa = 30 °CT(59) = 224 °CT = 333 °C
t = min
5.困难
解 y″ + 2y′ + 5y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(1)；角度以弧度为单位。
y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(1) =
6.困难
一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 11.25y = 56.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 ymax。
y″ + 3y′ + 11.25y = 56.25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
答案
- 1. k = 0.5657 h⁻¹
- 2. ζ = 0.3
- 3. t = 13.92 min
- 4. t = 14.42 min
- 5. y(1) = 0.02833
- 6. ymax = 6.039
完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。