多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy−22P

对于 f(x, y) = −3xy² + 5x³ + y³ − 2xy，求在点 (−2, 2) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = −3xy² + 5x³ + y³ − 2xyP = (−2, 2)
fy(−2, 2) =
2.简单

对于 f(x, y) = −4x²y + 5x³ + y³ − 2xy，求在 (2, −2) 处的二阶偏导数 ∂²f/∂y²。

f(x, y) = −4x²y + 5x³ + y³ − 2xyP = (2, −2)
fyy(2, −2) =
3.中等
xy−13∇fP

对于 f(x, y) = −3x³y + 4x² − 3y³，求 f 在点 (−1, 3) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −3x³y + 4x² − 3y³P = (−1, 3)
|∇f| =
4.中等
xy−2024−4−20vP

对于 f(x, y) = 4x²y³ + x³ + 5y² + xy，求在 (1, −2) 处沿 v = (3, −1) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 4x²y³ + x³ + 5y² + xyP = (1, −2)v = (3, −1)
Duf =
5.困难
xy1.50.5

用极坐标计算 I = ∬R √(x² + y²) dA，其中 R 是圆环 0.25 ≤ x² + y² ≤ 2.25。

f = √(x² + y²)0.5 ≤ r ≤ 1.50 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.困难
xy−50−4−202(0, 0)(−3, −3)

求 f(x, y) = x³ + y³ + 9xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极大值处的值 fmax。

f(x, y) = x³ + y³ + 9xy
fmax =

答案

  1. 1. fy(−2, 2) = 40
  2. 2. fyy(2, −2) = −12
  3. 3. |∇f| = 85.49
  4. 4. Duf = −68.94
  5. 5. I = 6.807
  6. 6. fmax = 27

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。