多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单

对于 f(x, y) = 2y·e3xy，求在 (−1, 0.5) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 2y·e3xyP = (−1, 0.5)
fxy(−1, 0.5) =
2.简单
xy−21P

对于 f(x, y) = 3xy² + 2x³ − 4y³ + 2xy，求在点 (−2, 1) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = 3xy² + 2x³ − 4y³ + 2xyP = (−2, 1)
fy(−2, 1) =
3.中等
xy33∇fP

对于 f(x, y) = x²y² + 4x² + 4y² + 4xy，求在 (3, 3) 处最陡上升方向与正 x 轴的夹角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

f(x, y) = x²y² + 4x² + 4y² + 4xyP = (3, 3)
θ = °
4.中等
xy−4−20−4−20vP

对于 f(x, y) = −xy³ + 5x³ + 4y³ − 3xy，求在 (−2, −2) 处沿 v = (−3, −3) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = −xy³ + 5x³ + 4y³ − 3xyP = (−2, −2)v = (−3, −3)
Duf =
5.困难
xy2

用极坐标计算 I = ∬R (x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 4 在第一象限的四分之一。

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.困难
xy−50−4−202(−3, −3)

f(x, y) = −x² + 5xy − 3y² + 9x − 3y + 1 在 (−3, −3) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = −x² + 5xy − 3y² + 9x − 3y + 1P = (−3, −3)
D =

答案

  1. 1. fxy(−1, 0.5) = 0.3347
  2. 2. fy(−2, 1) = −28
  3. 3. θ = 45 °
  4. 4. Duf = −107.5
  5. 5. I = 6.283
  6. 6. D = −13

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