多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

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1.简单

对于 f(x, y) = y·e^2xy，求在点 (−1, 2) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = y·e^2xyP = (−1, 2)

f_y(−1, 2) =

2.简单

在矩形 2 ≤ x ≤ 4，2 ≤ y ≤ 4 上计算 I = ∫₂⁴ ∫₂⁴ (3x·e^−y) dy dx。

f = 3x·e^−y2 ≤ x ≤ 42 ≤ y ≤ 4

I =

3.中等

z = 5xy + 2x³ − 3y²，其中 x = −t + 1，y = −2t² + 1。用链式法则求 t = 2 时的 dz/dt。

z = 5xy + 2x³ − 3y²x = −t + 1y = −2t² + 1t = 2

dz/dt =

4.中等

z = −2xy³ + 4x² − y³ + 2xy 在 (x, y) = (−2, 3) 处的切平面可以写成 z = px + qy + c。求 c。

f(x, y) = −2xy³ + 4x² − y³ + 2xy(a, b) = (−2, 3)

c =

5.困难

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 6y 在 (3, 3) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = f_xxf_yy − f_xy²。

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 6yP = (3, 3)

D =

6.困难

用极坐标计算 I = ∬_R y dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 9 的上半部分 (y ≥ 0)。

f = y0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π

I =

答案

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