1.简单
对于 f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)，求在 (−1, 2) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。
f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)P = (−1, 2)
fxy(−1, 2) =
多元微积分练习卷（附答案）
2.简单
对于 f(x, y) = −2x²y³ + 2x³ − 4y³ + xy，求在点 (3, 3) 处的偏导数 ∂f/∂x。
f(x, y) = −2x²y³ + 2x³ − 4y³ + xyP = (3, 3)
fx(3, 3) =
3.中等
对于 f(x, y) = 2 sin(−2x + 2y)，求在 P(1, 1) 处朝向 Q(1, 4) 方向的方向导数 Duf。
f(x, y) = 2 sin(−2x + 2y)P = (1, 1)Q = (1, 4)
Duf =
4.中等
对于 f(x, y) = 2x²y³ + 5x³ − 2y² + 2xy，求在 P(−2, −1) 处朝向 Q(−2, −2) 方向的方向导数 Duf。
f(x, y) = 2x²y³ + 5x³ − 2y² + 2xyP = (−2, −1)Q = (−2, −2)
Duf =
5.困难
f(x, y) = x³ − 12x + y² − 6y 在 (2, 3) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。
f(x, y) = x³ − 12x + y² − 6yP = (2, 3)
D =
6.困难
用极坐标计算 I = ∬R √(x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 2.25 在第一象限的四分之一。
f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 1.50 ≤ θ ≤ π/2
I =
答案
- 1. fxy(−1, 2) = 0.2215
- 2. fx(3, 3) = −267
- 3. Duf = 4
- 4. Duf = −24
- 5. D = 24
- 6. I = 1.767
完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。