多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy21P

对于 f(x, y) = ln(x² + 4y²)，求在点 (2, 1) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = ln(x² + 4y²)P = (2, 1)
fy(2, 1) =
2.简单

对于 f(x, y) = 3 sin(2x − 3y)，求在 (0.5, −1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 3 sin(2x − 3y)P = (0.5, −1)
fxy(0.5, −1) =
3.中等
xy11∇fP

对于 f(x, y) = 5x³y − x² + 5y² − xy，求在 (1, 1) 处最陡上升方向与正 x 轴的夹角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

f(x, y) = 5x³y − x² + 5y² − xyP = (1, 1)
θ = °
4.中等
xy05−4−20vP

对于 f(x, y) = 2xy³ + 4x³ + 4y² − 4xy，求在 (3, −2) 处沿 v = (−4, 1) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 2xy³ + 4x³ + 4y² − 4xyP = (3, −2)v = (−4, 1)
Duf =
5.困难
xyx = 1y = x1

积分 I = ∫01 ∫y1 sin(x²) dx dy 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1
I =
6.困难
xy2

用极坐标计算 I = ∬R e−(x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 4 在第一象限的四分之一。

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =

答案

  1. 1. fy(2, 1) = 1
  2. 2. fxy(0.5, −1) = −13.62
  3. 3. θ = 49.4 °
  4. 4. Duf = −86.34
  5. 5. I = 0.2298
  6. 6. I = 0.771

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。