多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

教师请注意： 可免费打印、复印并在课堂上使用。每份新练习题都有新的数值和独立的答案。欢迎在课程页面添加指向 ExamProblems 的链接。

姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy2−1P

对于 f(x, y) = ln(x² + 3y²)，求在点 (2, −1) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = ln(x² + 3y²)P = (2, −1)
fx(2, −1) =
2.简单
xyx = 3y = 333

在矩形 0 ≤ x ≤ 3，0 ≤ y ≤ 3 上计算 I = ∫03 ∫03 (3x·ey) dy dx。

f = 3x·ey0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 3
I =
3.中等
xy−500246vP

对于 f(x, y) = 2x²y² + 4x³ − 5y² + 2xy，求在 (−2, 3) 处沿 v = (2, 2) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 2x²y² + 4x³ − 5y² + 2xyP = (−2, 3)v = (2, 2)
Duf =
4.中等
xy−11∇fP

对于 f(x, y) = −2xy² − xy，求 f 在点 (−1, 1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −2xy² − xyP = (−1, 1)
|∇f| =
5.困难
xy−505−4−202AB

图中标出的点是 f(x, y) = x³ − 27x + y² + 2y 的临界点。点选局部极小值。

f(x, y) = x³ − 27x + y² + 2y
  1. 1A (−3, −1)
  2. 2B (3, −1)
6.困难
xy1.5

用极坐标计算 I = ∬R √(x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 2.25。

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 1.50 ≤ θ ≤ 2π
I =

答案

  1. 1. fx(2, −1) = 0.5714
  2. 2. I = 257.7
  3. 3. Duf = −2.828
  4. 4. |∇f| = 5.831
  5. 5. B (3, −1)
  6. 6. I = 7.069

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。