多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy21P

对于 f(x, y) = −3x³y + x² − xy，求在点 (2, 1) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = −3x³y + x² − xyP = (2, 1)
fx(2, 1) =
2.简单
xyx = 1y = 313

在矩形 0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 3 上计算 I = ∫01 ∫03 (2x·ey) dy dx。

f = 2x·ey0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 3
I =
3.中等
xy1−2∇fP

对于 f(x, y) = −4xy − 4x³ + 4y²，求 f 在点 (1, −2) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −4xy − 4x³ + 4y²P = (1, −2)
|∇f| =
4.中等
xy−11∇fP

对于 f(x, y) = 2x³y + 5x² − 4y³ − 4xy，求 f 在点 (−1, 1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = 2x³y + 5x² − 4y³ − 4xyP = (−1, 1)
|∇f| =
5.困难
xy1.50.5

用极坐标计算 I = ∬R (x² + y²) dA，其中 R 是圆环 0.25 ≤ x² + y² ≤ 2.25。

f = x² + y²0.5 ≤ r ≤ 1.50 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.困难
xy−505−4−202(3, −1)(−3, −1)

求 f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 2y 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极大值处的值 fmax。

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 2y
fmax =

答案

  1. 1. fx(2, 1) = −33
  2. 2. I = 19.09
  3. 3. |∇f| = 20.4
  4. 4. |∇f| = 12.81
  5. 5. I = 7.854
  6. 6. fmax = 55

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