多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = 4x³y − 4x² + 4y² + 2xy，求在 (−1, −2) 处的二阶偏导数 ∂²f/∂x²。

f(x, y) = 4x³y − 4x² + 4y² + 2xyP = (−1, −2)
fxx(−1, −2) =
2.简单
xyx = 1x = 2y = 2y = 11221

在矩形 1 ≤ x ≤ 2，1 ≤ y ≤ 2 上计算 I = ∫12 ∫12 (−3xy − 3) dy dx。

f = −3xy − 31 ≤ x ≤ 21 ≤ y ≤ 2
I =
3.中等
xy11P

利用 f(x, y) = 3 ln(x² + y²) 在 (1, 1) 处的切平面来近似 f(0.9, 1.2)。给出线性近似值 L。

f(x, y) = 3 ln(x² + y²)(a, b) = (1, 1)(x, y) = (0.9, 1.2)
L =
4.中等

z = −3x³y² + 4y²，其中 x = t − 2，y = −t² − 1。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = −3x³y² + 4y²x = t − 2y = −t² − 1t = 0
dz/dt =
5.困难
xy−202−202(2, 0)(−2, 0)

f(x, y) = x³ − 12x + y² 在 (2, 0) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x³ − 12x + y²P = (2, 0)
D =
6.困难
xyy = 1.2y = x1.21.2

积分 I = ∫01.2 ∫x1.2 1/(1 + y²)² dy dx 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1.2
I =

答案

  1. 1. fxx(−1, −2) = 40
  2. 2. I = −9.75
  3. 3. L = 2.379
  4. 4. dz/dt = −36
  5. 5. D = 24
  6. 6. I = 0.2951

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