多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy−3−2P

对于 f(x, y) = 5x²y − 2x² + y³ − 4xy，求在点 (−3, −2) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = 5x²y − 2x² + y³ − 4xyP = (−3, −2)
fy(−3, −2) =
2.简单
xyx = 1x = 3y = 1131

在矩形 1 ≤ x ≤ 3，0 ≤ y ≤ 1 上计算 I = ∫13 ∫01 (−2xy² − 3) dy dx。

f = −2xy² − 31 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 1
I =
3.中等
xy−5005PQ

对于 f(x, y) = 2x³y³ + 5x³ + 4y² + 2xy，求在 P(−2, 3) 处朝向 Q(0, 7) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 2x³y³ + 5x³ + 4y² + 2xyP = (−2, 3)Q = (0, 7)
Duf =
4.中等

z = x³y³ + x³ + 2y³ + xy，其中 x = −2t − 2，y = 2t² − 1。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = x³y³ + x³ + 2y³ + xyx = −2t − 2y = 2t² − 1t = 0
dz/dt =
5.困难
xyy = 0.8y = x0.80.8

积分 I = ∫00.8 ∫x0.8 sin(y²) dy dx 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 0.8
I =
6.困难
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

求 f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =

答案

  1. 1. fy(−3, −2) = 69
  2. 2. I = −8.667
  3. 3. Duf = −49.19
  4. 4. dz/dt = 2
  5. 5. I = 0.09895
  6. 6. fmin = −2

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