多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = y·e2xy，求在 (2, 1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = y·e2xyP = (2, 1)
fxy(2, 1) =
2.简单
xyx = 1y = 212

在矩形 0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2 上计算 I = ∫01 ∫02 (−xy − 1) dy dx。

f = −xy − 10 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 2
I =
3.中等
xy0.52∇fP

对于 f(x, y) = −y·e3xy，求 f 在点 (0.5, 2) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −y·e3xyP = (0.5, 2)
|∇f| =
4.中等

z = −4x³y + x³ + 3y³ − 4xy，其中 x = −t + 1，y = −2t² + 2。用链式法则求 t = 2 时的 dz/dt。

z = −4x³y + x³ + 3y³ − 4xyx = −t + 1y = −2t² + 2t = 2
dz/dt =
5.困难
xy21

用极坐标计算 I = ∬R e−(x² + y²) dA，其中 R 是圆环 1 ≤ x² + y² ≤ 4。

f = e−(x² + y²)1 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.困难
xy05−2024(0, 0)(3, 3)

求 f(x, y) = x³ + y³ − 9xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy
fmin =

答案

  1. 1. fxy(2, 1) = 655.2
  2. 2. I = −3
  3. 3. |∇f| = 254.1
  4. 4. dz/dt = −2755
  5. 5. I = 1.098
  6. 6. fmin = −27

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。