多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

教师请注意： 可免费打印、复印并在课堂上使用。每份新练习题都有新的数值和独立的答案。欢迎在课程页面添加指向 ExamProblems 的链接。

姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xyx = 2x = 5y = 1251

在矩形 2 ≤ x ≤ 5，0 ≤ y ≤ 1 上计算 I = ∫25 ∫01 (6x²y + 1) dy dx。

f = 6x²y + 12 ≤ x ≤ 50 ≤ y ≤ 1
I =
2.简单
xyx = 1x = 2y = 3123

在矩形 1 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 3 上计算 I = ∫12 ∫03 (x²y − 3) dy dx。

f = x²y − 31 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 3
I =
3.中等
xy−2024024PQ

对于 f(x, y) = x³y³ + 4x³ + 5y³ − 4xy，求在 P(1, 2) 处朝向 Q(2, 0) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = x³y³ + 4x³ + 5y³ − 4xyP = (1, 2)Q = (2, 0)
Duf =
4.中等
xy024−20vP

对于 f(x, y) = xey，求在 (0.5, −1) 处沿 v = (3, −2) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = xeyP = (0.5, −1)v = (3, −2)
Duf =
5.困难
xyx = 1.2y = x1.2

积分 I = ∫01.2 ∫y1.2 sin(x²) dx dy 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1.2
I =
6.困难
xy0−2024(2, 3)(−2, 3)

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 6y 在 (2, 3) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 6yP = (2, 3)
D =

答案

  1. 1. I = 120
  2. 2. I = 1.5
  3. 3. Duf = −48.3
  4. 4. Duf = 0.2041
  5. 5. I = 0.4348
  6. 6. D = 24

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。