多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = x²y² − 3x³ + 4y² + 4xy，求在 (2, 1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = x²y² − 3x³ + 4y² + 4xyP = (2, 1)
fxy(2, 1) =
2.简单
xyx = 2x = 3y = 5y = 22352

在矩形 2 ≤ x ≤ 3，2 ≤ y ≤ 5 上计算 I = ∫23 ∫25 (3y + 3) dy dx。

f = 3y + 32 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 5
I =
3.中等
xy024−202PQ

对于 f(x, y) = −y·e−xy，求在 P(0.5, 0.5) 处朝向 Q(3.5, −1.5) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = −y·e−xyP = (0.5, 0.5)Q = (3.5, −1.5)
Duf =
4.中等
xy024602vP

对于 f(x, y) = sin(−3x + 2y)，求在 (2, 1) 处沿 v = (4, 2) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = sin(−3x + 2y)P = (2, 1)v = (4, 2)
Duf =
5.困难
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

求 f(x, y) = x³ + y³ − 3xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy
fmin =
6.困难
xy10.5

用极坐标计算 I = ∬R √(x² + y²) dA，其中 R 是圆环 0.25 ≤ x² + y² ≤ 1。

f = √(x² + y²)0.5 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =

答案

  1. 1. fxy(2, 1) = 12
  2. 2. I = 40.5
  3. 3. Duf = 0.486
  4. 4. Duf = 1.169
  5. 5. fmin = −1
  6. 6. I = 1.833

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