多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy0.5−1P

对于 f(x, y) = 3x³e0.5y，求在点 (0.5, −1) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = 3x³e0.5yP = (0.5, −1)
fx(0.5, −1) =
2.简单

对于 f(x, y) = 3x²y² − 3x³ − 4y³ − xy，求在 (2, −1) 处的二阶偏导数 ∂²f/∂y²。

f(x, y) = 3x²y² − 3x³ − 4y³ − xyP = (2, −1)
fyy(2, −1) =
3.中等
xy−20012PQ

对于 f(x, y) = ln(x² + 4y²)，求在 P(−1, 1) 处朝向 Q(−3, 2) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = ln(x² + 4y²)P = (−1, 1)Q = (−3, 2)
Duf =
4.中等
xy−4−20−4−20vP

对于 f(x, y) = −2xy² − 5x³ + 4y² − 2xy，求在 (−2, −2) 处沿 v = (0, 2) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = −2xy² − 5x³ + 4y² − 2xyP = (−2, −2)v = (0, 2)
Duf =
5.困难
xy21

用极坐标计算 I = ∬R e−(x² + y²) dA，其中 R 是圆环 1 ≤ x² + y² ≤ 4。

f = e−(x² + y²)1 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.困难
xy−20−20AB

图中标出的点是 f(x, y) = x³ + y³ + 6xy 的临界点。点选局部极大值。

f(x, y) = x³ + y³ + 6xy
  1. 1A (−2, −2)
  2. 2B (0, 0)

答案

  1. 1. fx(0.5, −1) = 1.365
  2. 2. fyy(2, −1) = 48
  3. 3. Duf = 1.073
  4. 4. Duf = −28
  5. 5. I = 1.098
  6. 6. A (−2, −2)

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