多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy−1−3P

对于 f(x, y) = −4x²y³ − x² − 5y³ − 2xy，求在点 (−1, −3) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = −4x²y³ − x² − 5y³ − 2xyP = (−1, −3)
fx(−1, −3) =
2.简单
xy−33P

对于 f(x, y) = −xy³ + 4x² + 4y³ + 2xy，求在点 (−3, 3) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = −xy³ + 4x² + 4y³ + 2xyP = (−3, 3)
fy(−3, 3) =
3.中等
xy−11∇fP

对于 f(x, y) = 2 sin(x − 2y)，求 f 在点 (−1, 1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = 2 sin(x − 2y)P = (−1, 1)
|∇f| =
4.中等

z = −4x³y − 3x³ + 4y³ + 3xy，其中 x = −t − 2，y = t² + 1。用链式法则求 t = −1 时的 dz/dt。

z = −4x³y − 3x³ + 4y³ + 3xyx = −t − 2y = t² + 1t = −1
dz/dt =
5.困难
xy−4−202−2024(−2, 3)

f(x, y) = 2x² − xy + 2y² + 11x − 14y − 5 在 (−2, 3) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = 2x² − xy + 2y² + 11x − 14y − 5P = (−2, 3)
D =
6.困难
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

求 f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =

答案

  1. 1. fx(−1, −3) = −208
  2. 2. fy(−3, 3) = 183
  3. 3. |∇f| = 4.427
  4. 4. dz/dt = −71
  5. 5. D = 15
  6. 6. fmin = −32

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