多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

教师请注意： 可免费打印、复印并在课堂上使用。每份新练习题都有新的数值和独立的答案。欢迎在课程页面添加指向 ExamProblems 的链接。

姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy22P

对于 f(x, y) = 5x²y³ − 3x² + 5y³ − xy，求在点 (2, 2) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = 5x²y³ − 3x² + 5y³ − xyP = (2, 2)
fx(2, 2) =
2.简单
xyx = 1x = 4y = 3y = 11431

在矩形 1 ≤ x ≤ 4，1 ≤ y ≤ 3 上计算 I = ∫14 ∫13 (−x²y² + 5) dy dx。

f = −x²y² + 51 ≤ x ≤ 41 ≤ y ≤ 3
I =
3.中等

z = 3 ln(x² + 2y²)，其中 x = −3t + 1，y = t² − 1。用链式法则求 t = −1 时的 dz/dt。

z = 3 ln(x² + 2y²)x = −3t + 1y = t² − 1t = −1
dz/dt =
4.中等
xy11∇fP

对于 f(x, y) = −2x³y² − y²，求 f 在点 (1, 1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −2x³y² − y²P = (1, 1)
|∇f| =
5.困难
xyx = 0.8y = x0.8

积分 I = ∫00.8 ∫y0.8 1/(1 + x²)² dx dy 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 0.8
I =
6.困难
xy−20−2−101AB

图中标出的点是 f(x, y) = x³ + y³ + 3xy 的临界点。点选局部极大值。

f(x, y) = x³ + y³ + 3xy
  1. 1A (−1, −1)
  2. 2B (0, 0)

答案

  1. 1. fx(2, 2) = 146
  2. 2. I = −152
  3. 3. dz/dt = −4.5
  4. 4. |∇f| = 8.485
  5. 5. I = 0.1951
  6. 6. A (−1, −1)

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。