多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = −3x³y³ + 5x² + 2xy，求在 (−2, −2) 处的二阶偏导数 ∂²f/∂y²。

f(x, y) = −3x³y³ + 5x² + 2xyP = (−2, −2)
fyy(−2, −2) =
2.简单
xy11P

对于 f(x, y) = x³e0.5y，求在点 (1, 1) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = x³e0.5yP = (1, 1)
fx(1, 1) =
3.中等

z = −3x²y − 2x² − 3y³ + xy，其中 x = 3t，y = t² − 1。用链式法则求 t = 2 时的 dz/dt。

z = −3x²y − 2x² − 3y³ + xyx = 3ty = t² − 1t = 2
dz/dt =
4.中等
xy1−1∇fP

对于 f(x, y) = 3 ln(x² + 2y²)，求 f 在点 (1, −1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = 3 ln(x² + 2y²)P = (1, −1)
|∇f| =
5.困难
xy−505−2024AB

图中标出的点是 f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 6y 的临界点。点选鞍点。

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 6y
  1. 1A (3, 3)
  2. 2B (−3, 3)
6.困难
xy31

用极坐标计算 I = ∬R e−(x² + y²) dA，其中 R 是圆环 1 ≤ x² + y² ≤ 9。

f = e−(x² + y²)1 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =

答案

  1. 1. fyy(−2, −2) = −288
  2. 2. fx(1, 1) = 4.946
  3. 3. dz/dt = −1119
  4. 4. |∇f| = 4.472
  5. 5. B (−3, 3)
  6. 6. I = 1.155

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