多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy−12P

对于 f(x, y) = 5 sin(−x − y)，求在点 (−1, 2) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = 5 sin(−x − y)P = (−1, 2)
fx(−1, 2) =
2.简单

对于 f(x, y) = 2 sin(3x + y)，求在 (2, 0.5) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 2 sin(3x + y)P = (2, 0.5)
fxy(2, 0.5) =
3.中等
xy−13∇fP

对于 f(x, y) = 3xy² + x² − 3y³ + 2xy，求在 (−1, 3) 处最陡上升方向与正 x 轴的夹角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

f(x, y) = 3xy² + x² − 3y³ + 2xyP = (−1, 3)
θ = °
4.中等

z = 2 sin(2x − 2y)，其中 x = 2t − 2，y = 2t² − 1。用链式法则求 t = 1 时的 dz/dt。

z = 2 sin(2x − 2y)x = 2t − 2y = 2t² − 1t = 1
dz/dt =
5.困难
xyx = 1.5y = x1.5

积分 I = ∫01.5 ∫y1.5 sin(x²) dx dy 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1.5
I =
6.困难
xy02−20(2, −2)

f(x, y) = 2x² + 4xy + y² − 4y + 3 在 (2, −2) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = 2x² + 4xy + y² − 4y + 3P = (2, −2)
D =

答案

  1. 1. fx(−1, 2) = −2.702
  2. 2. fxy(2, 0.5) = −1.291
  3. 3. θ = −72.94 °
  4. 4. dz/dt = 3.329
  5. 5. I = 0.8141
  6. 6. D = −8

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