多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = ln(x² + 4y²)，求在 (0.5, 0.5) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = ln(x² + 4y²)P = (0.5, 0.5)
fxy(0.5, 0.5) =
2.简单
xy−12P

对于 f(x, y) = −y·e2xy，求在点 (−1, 2) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = −y·e2xyP = (−1, 2)
fx(−1, 2) =
3.中等
xy−4−202−4−20PQ

对于 f(x, y) = −2x²y + 4x³ + y³ − 4xy，求在 P(−1, −2) 处朝向 Q(−5, −2) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = −2x²y + 4x³ + y³ − 4xyP = (−1, −2)Q = (−5, −2)
Duf =
4.中等
xy−13∇fP

对于 f(x, y) = −2x³y² + x² − 2y³ − 4xy，求 f 在点 (−1, 3) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −2x³y² + x² − 2y³ − 4xyP = (−1, 3)
|∇f| =
5.困难
xy−20−20(0, 0)(−2, −2)

f(x, y) = x³ + y³ + 6xy 在 (0, 0) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x³ + y³ + 6xyP = (0, 0)
D =
6.困难
xy05−2024AB

图中标出的点是 f(x, y) = x³ + y³ − 9xy 的临界点。点选鞍点。

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy
  1. 1A (0, 0)
  2. 2B (3, 3)

答案

  1. 1. fxy(0.5, 0.5) = −2.56
  2. 2. fx(−1, 2) = −0.1465
  3. 3. Duf = −12
  4. 4. |∇f| = 77.9
  5. 5. D = −36
  6. 6. A (0, 0)

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