多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xyx = 1x = 2y = 5y = 21252

在矩形 1 ≤ x ≤ 2，2 ≤ y ≤ 5 上计算 I = ∫12 ∫25 (−3xy + 5) dy dx。

f = −3xy + 51 ≤ x ≤ 22 ≤ y ≤ 5
I =
2.简单
xy−3−2P

对于 f(x, y) = x³y − x² + xy，求在点 (−3, −2) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = x³y − x² + xyP = (−3, −2)
fy(−3, −2) =
3.中等

z = 4x³y + 5x³ − 2xy，其中 x = t − 2，y = t² − 1。用链式法则求 t = 1 时的 dz/dt。

z = 4x³y + 5x³ − 2xyx = t − 2y = t² − 1t = 1
dz/dt =
4.中等
xy−10123−20vP

对于 f(x, y) = 5x³y² − 2x³ + y³ + 2xy，求在 (1, −1) 处沿 v = (1, 2) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 5x³y² − 2x³ + y³ + 2xyP = (1, −1)v = (1, 2)
Duf =
5.困难
xy−505−202(3, 0)(−3, 0)

f(x, y) = x³ − 27x + y² 在 (−3, 0) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x³ − 27x + y²P = (−3, 0)
D =
6.困难
xy3

用极坐标计算 I = ∬R y dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 9 的上半部分 (y ≥ 0)。

f = y0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π
I =

答案

  1. 1. I = −32.25
  2. 2. fy(−3, −2) = −30
  3. 3. dz/dt = 11
  4. 4. Duf = −1.342
  5. 5. D = −36
  6. 6. I = 18

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