多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy31P

对于 f(x, y) = 5x²y − 3x² + y³ − 2xy，求在点 (3, 1) 处的偏导数 ∂f/∂y。

f(x, y) = 5x²y − 3x² + y³ − 2xyP = (3, 1)
fy(3, 1) =
2.简单

对于 f(x, y) = −2x³e3y，求在 (1, −1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = −2x³e3yP = (1, −1)
fxy(1, −1) =
3.中等

z = −2x³e2y，其中 x = −t + 1，y = −t² + 2。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = −2x³e2yx = −t + 1y = −t² + 2t = 0
dz/dt =
4.中等
xy22∇fP

对于 f(x, y) = 3 sin(−2x − 3y)，求 f 在点 (2, 2) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = 3 sin(−2x − 3y)P = (2, 2)
|∇f| =
5.困难
xy−2024−4−202(2, −3)

f(x, y) = −2x² − 2xy − y² + 2x − 2y + 1 在 (2, −3) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = −2x² − 2xy − y² + 2x − 2y + 1P = (2, −3)
D =
6.困难
xyy = 1.2y = x1.21.2

积分 I = ∫01.2 ∫x1.2 1/(1 + y²)² dy dx 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1.2
I =

答案

  1. 1. fy(3, 1) = 42
  2. 2. fxy(1, −1) = −0.8962
  3. 3. dz/dt = 327.6
  4. 4. |∇f| = 9.076
  5. 5. D = 4
  6. 6. I = 0.2951

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。