多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = sin(−2x − 2y)，求在 (−1, 2) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = sin(−2x − 2y)P = (−1, 2)
fxy(−1, 2) =
2.简单
xyx = 1y = 2y = 1121

在矩形 0 ≤ x ≤ 1，1 ≤ y ≤ 2 上计算 I = ∫01 ∫12 (−3xy + 1) dy dx。

f = −3xy + 10 ≤ x ≤ 11 ≤ y ≤ 2
I =
3.中等
xy−1012−202vP

对于 f(x, y) = x²e2y，求在 (0.5, 1) 处沿 v = (1, −3) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = x²e2yP = (0.5, 1)v = (1, −3)
Duf =
4.中等
xy23∇fP

对于 f(x, y) = 2xy − 3x³，求 f 在点 (2, 3) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = 2xy − 3x³P = (2, 3)
|∇f| =
5.困难
xyx = 1.5y = x1.5

积分 I = ∫01.5 ∫y1.5 sin(x²) dx dy 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1.5
I =
6.困难
xy31

用极坐标计算 I = ∬R e−(x² + y²) dA，其中 R 是圆环 1 ≤ x² + y² ≤ 9。

f = e−(x² + y²)1 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =

答案

  1. 1. fxy(−1, 2) = 3.637
  2. 2. I = −1.25
  3. 3. Duf = −1.168
  4. 4. |∇f| = 30.27
  5. 5. I = 0.8141
  6. 6. I = 1.155

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。