多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

教师请注意： 可免费打印、复印并在课堂上使用。每份新练习题都有新的数值和独立的答案。欢迎在课程页面添加指向 ExamProblems 的链接。

姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xyx = 3y = 131

在矩形 0 ≤ x ≤ 3，0 ≤ y ≤ 1 上计算 I = ∫03 ∫01 (4x²y − 3) dy dx。

f = 4x²y − 30 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 1
I =
2.简单
xyx = 1x = 3y = 3y = 11331

在矩形 1 ≤ x ≤ 3，1 ≤ y ≤ 3 上计算 I = ∫13 ∫13 (2x·ey) dy dx。

f = 2x·ey1 ≤ x ≤ 31 ≤ y ≤ 3
I =
3.中等
xy−1012−202PQ

对于 f(x, y) = 5 sin(x − 2y)，求在 P(0.5, −1) 处朝向 Q(1.5, 3) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 5 sin(x − 2y)P = (0.5, −1)Q = (1.5, 3)
Duf =
4.中等
xy−2024−2024PQ

对于 f(x, y) = −2x²y² − x³ + 2y² + 3xy，求在 P(2, 2) 处朝向 Q(−2, −2) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = −2x²y² − x³ + 2y² + 3xyP = (2, 2)Q = (−2, −2)
Duf =
5.困难
xy2

用极坐标计算 I = ∬R e−(x² + y²) dA，其中 R 是圆盘 x² + y² ≤ 4。

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.困难
xyx = 2y = x2

积分 I = ∫02 ∫y2 sin(x²) dx dy 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =

答案

  1. 1. I = 9
  2. 2. I = 138.9
  3. 3. Duf = 6.801
  4. 4. Duf = 39.6
  5. 5. I = 3.084
  6. 6. I = 0.8268

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。