多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = 4x²y − 5x³ + 2xy，求在 (−1, −2) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 4x²y − 5x³ + 2xyP = (−1, −2)
fxy(−1, −2) =
2.简单

对于 f(x, y) = 3 sin(x + 3y)，求在 (−1, −1) 处的混合二阶偏导数 ∂²f/∂x∂y。

f(x, y) = 3 sin(x + 3y)P = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
3.中等
xy024−202vP

对于 f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)，求在 (0.5, −1) 处沿 v = (3, 3) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (0.5, −1)v = (3, 3)
Duf =
4.中等
xy−11∇fP

对于 f(x, y) = −3xy² + 5x³ − y³ − 4xy，求在 (−1, 1) 处最陡上升方向与正 x 轴的夹角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

f(x, y) = −3xy² + 5x³ − y³ − 4xyP = (−1, 1)
θ = °
5.困难
xyx = 2y = x2

积分 I = ∫02 ∫y2 cos(x²) dx dy 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =
6.困难
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

求 f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极小值处的值 fmin。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =

答案

  1. 1. fxy(−1, −2) = −6
  2. 2. fxy(−1, −1) = −6.811
  3. 3. Duf = −3.494
  4. 4. θ = 41.19 °
  5. 5. I = −0.3784
  6. 6. fmin = −2

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。