多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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1.简单

对于 f(x, y) = xy + 2x³ + 4y³，求在 (1, −1) 处的二阶偏导数 ∂²f/∂y²。

f(x, y) = xy + 2x³ + 4y³P = (1, −1)
fyy(1, −1) =
2.简单
xyx = 2x = 5y = 3253

在矩形 2 ≤ x ≤ 5，0 ≤ y ≤ 3 上计算 I = ∫25 ∫03 (−3xy² + 4) dy dx。

f = −3xy² + 42 ≤ x ≤ 50 ≤ y ≤ 3
I =
3.中等

z = 5xy − 4x³ − 3y²，其中 x = 3t − 1，y = −t² − 1。用链式法则求 t = 1 时的 dz/dt。

z = 5xy − 4x³ − 3y²x = 3t − 1y = −t² − 1t = 1
dz/dt =
4.中等
xy−23∇fP

对于 f(x, y) = 2x³y² + 2x² + 2xy，求在 (−2, 3) 处最陡上升方向与正 x 轴的夹角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

f(x, y) = 2x³y² + 2x² + 2xyP = (−2, 3)
θ = °
5.困难
xy−202−2−101(1, −1)(−1, −1)

求 f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 2y 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极大值处的值 fmax。

f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 2y
fmax =
6.困难
xyy = 1.5y = x1.51.5

积分 I = ∫01.5 ∫x1.5 1/(1 + y²)² dy dx 无法按这个顺序计算。请交换积分顺序并计算它。

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1.5
I =

答案

  1. 1. fyy(1, −1) = −24
  2. 2. I = −247.5
  3. 3. dz/dt = −218
  4. 4. θ = −25.05 °
  5. 5. fmax = 3
  6. 6. I = 0.3462

完整分步解答：请在 examproblems.com 上练习本主题。