多元微积分练习卷（附答案）

免费可打印的多元微积分练习卷：6 道题，从简单到考试水平，附答案。可打印或另存为 PDF。

新练习卷在线练习，附提示

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姓名: ____________________   日期: ____________

1.简单
xy−11P

对于 f(x, y) = 4x³y − x² + 4y³ + 3xy，求在点 (−1, 1) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = 4x³y − x² + 4y³ + 3xyP = (−1, 1)
fx(−1, 1) =
2.简单

对于 f(x, y) = −4x²y² − 2x³ + 5y³ + 4xy，求在 (1, −1) 处的二阶偏导数 ∂²f/∂y²。

f(x, y) = −4x²y² − 2x³ + 5y³ + 4xyP = (1, −1)
fyy(1, −1) =
3.中等
xy11∇fP

对于 f(x, y) = −3x²y² + x² + 4y²，求 f 在点 (1, 1) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −3x²y² + x² + 4y²P = (1, 1)
|∇f| =
4.中等
xy−202024PQ

对于 f(x, y) = ln(x² + 2y²)，求在 P(0.5, 2) 处朝向 Q(2.5, −1) 方向的方向导数 Duf。

f(x, y) = ln(x² + 2y²)P = (0.5, 2)Q = (2.5, −1)
Duf =
5.困难
xy−202−202(2, 1)(−2, 1)

f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 2y 在 (−2, 1) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 2yP = (−2, 1)
D =
6.困难
xy−20−2−101(−1, −1)

求 f(x, y) = −2x² + 4xy − 3y² − 2y − 5 的临界点，对它们分类，并给出 f 在其局部极大值处的值 fmax。

f(x, y) = −2x² + 4xy − 3y² − 2y − 5
fmax =

答案

  1. 1. fx(−1, 1) = 17
  2. 2. fyy(1, −1) = −38
  3. 3. |∇f| = 4.472
  4. 4. Duf = −0.7396
  5. 5. D = −24
  6. 6. fmax = −4

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